Matemática · análise combinatória · caminhos em malha
Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( → ) ou para cima ( ↑ ), segundo o esquema da figura. O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
O que a prova mostra
Um quadriculado (as ruas), com três pontos pretos sobre cruzamentos, cada um com sua letra ao lado: A, B e C.
| ponto | em relação a A |
|---|---|
| A | origem — fica embaixo, à esquerda |
| C | 2 quadras à direita e 2 quadras acima |
| B | 4 quadras à direita e 3 quadras acima |
A letra de cada ponto fica ao lado dele: A abaixo e à esquerda do seu ponto, C acima e à esquerda do seu, B acima e à direita do seu.
4
14
17
35
48
De A a B são 4 passos à direita e 3 para cima: 35 caminhos. Os que passam por C são 6 × 3 = 18. Sem C, sobram 17.
Por que a C é a certa
B fica 4 quadras à direita e 3 acima de A. Todo caminho tem 7 passos, 4 deles para a direita: escolher quais dá C(7,4) = 35. C fica 2 à direita e 2 acima de A: até C há C(4,2) = 6 caminhos, e de C até B, 2 à direita e 1 acima, C(3,1) = 3. Passando por C, são 6 × 3 = 18. Os que evitam C são 35 − 18 = 17.
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Precisava saber