Matemática · geometria analítica · distância entre pontos · menor caminho por reflexão
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias. Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível. Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
O que a prova mostra
Um plano cartesiano com grade cinza.
Rodovia 003 fica sobre ele, à esquerda;
acima deles. Pela grade, as posições são:
I = 20 II = 30 III = 35 IV = 40 V = 50
saem cinco segmentos contínuos, idem. Uma legenda no alto à direita diz: linha pontilhada = Rodovia 001, linha contínua = Rodovia 002;
verticais — I fica exatamente abaixo de A, e V exatamente abaixo de B.
I
II
III
IV
V
Refletindo B no eixo x, B' = (50, −20). O caminho mínimo é a reta de A a B', que corta o eixo em x = 40: o ponto IV.
Por que a D é a certa
Para qualquer ponto P do eixo x, a distância de P a B é igual à de P ao reflexo de B, B' = (50, −20). Então AP + PB = AP + PB', que é mínimo quando A, P e B' estão alinhados. A reta de A(20, 40) a B' tem inclinação −60 ÷ 30 = −2, e y = 40 − 2(x − 20) se anula em x = 40: o ponto IV, com 44,7 + 22,4 ≈ 67,1 km.
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