Matemática · geometria analítica · equação da reta · mediatriz
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de "confundir" os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado. Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura. Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
O que a prova mostra
Desenho no plano cartesiano. Dois eixos pretos com seta na ponta, y na vertical e x na horizontal, e um 0 na origem. Os eixos não têm escala nem marcação de unidade.
No meio do desenho há um quadrado azul-claro preenchido, inclinado em relação aos eixos, com os quatro vértices marcados por um ponto preto cheio e uma letra em itálico. Dois deles trazem as coordenadas impressas ao lado:
V (8 ; 6) — vértice da direita S (6 ; 2) — vértice de baixo T — vértice da esquerda, sem coordenada escrita U — vértice de cima, sem coordenada escrita
y = −3x + 20
y = −3x + 16
y = −3x − 20
y = 3x + 16
y = 3x − 16
Os pontos equidistantes dos vilões T e V formam a outra diagonal do quadrado, SU. Com T(2; 4) e U(4; 8), a reta por S e U é y = −3x + 20.
Por que a A é a certa
Os pontos que estão à mesma distância de T e de V formam a mediatriz de TV. Num quadrado STUV, T e V são vértices opostos, e a mediatriz de uma diagonal é a outra diagonal, SU. De S(6; 2) a V(8; 6) o lado anda (2; 4); girando esse vetor 90°, T = S + (−4; 2) = (2; 4) e U = V + (−4; 2) = (4; 8). A reta por S(6; 2) e U(4; 8) tem inclinação (8 − 2) ÷ (4 − 6) = −3: y = −3x + 20.
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