Matemática · função trigonométrica · periodicidade
Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura. A função h(t) = 4 + 4·sen( (β·t)/2 − π/2 ), definida para t ≥ 0, descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos. O valor do parâmetro β , que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π. O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
O que a prova mostra
Dois esquemas lado a lado do mesmo motor, rotulados embaixo: Instante t = 0 (à esquerda) e Instante t ≠ 0 (à direita).
Em cada um, de cima para baixo: um retângulo alto rotulado Câmara de combustão; dentro dele, uma barra preta horizontal rotulada Pistão; e, abaixo da câmara, um círculo cinza (o virabrequim) ligado ao pistão por uma haste.
O que muda entre os dois:
t = 0): o pistão está no ponto mais baixo, e a hastedesce na vertical até o centro do círculo. Uma cota à esquerda, rente ao pistão, traz h(0) = 0;
t ≠ 0): o pistão está mais alto, a haste estáinclinada, e o ponto de ligação no círculo saiu do centro. Há uma seta vertical para cima dentro da câmara (o movimento do pistão) e uma seta curva à direita do círculo (a rotação). A cota à esquerda traz h(t), agora com altura visível.
A função, impressa logo abaixo da figura:
h(t) = 4 + 4·sen( (β·t)/2 − π/2 ), definida para t ≥ 0
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h = 6 quando cos(βt/2) = −1/2. A terceira vez é em βt/2 = 8π/3, ou t = 16/β com π = 3. Para t < 4, β > 4: o menor é 5.
Por que a D é a certa
Como sen(x − π/2) = −cos x, a função vira h(t) = 4 − 4 cos(βt/2). A altura é 6 quando cos(βt/2) = −1/2, o que acontece para βt/2 = 2π/3, 4π/3, 8π/3, e assim por diante. A terceira vez é em βt/2 = 8π/3, ou seja, t = 16π/(3β) = 16/β com π = 3. Para isso ocorrer antes de 4 s, 16/β < 4, logo β > 4. O menor inteiro é 5.
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