Matemática · progressão geométrica · potências
O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura. O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente. Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
O que a prova mostra
A sequência de quadrados, desenhada de cima para baixo.
No alto, um quadrado grande com os vértices rotulados: P no canto superior esquerdo, R no superior direito, S no inferior direito e T no inferior esquerdo. Dentro dele há uma diagonal inteira e metade da outra.
Abaixo dele, encostado na sua base, vem um segundo quadrado de lado metade do primeiro, apoiado no trecho que vai do vértice T ao ponto médio do lado TS — ou seja, na metade esquerda da base.
À esquerda, uma régua vertical com traços, marcando as alturas acumuladas: 1 (ao lado do primeiro quadrado), 1/2 (ao lado do segundo) e 1/4 (ao lado do terceiro). Abaixo, os pontinhos.
(1/2)^100
(1/2)^99
(1/2)^97
(1/2)^(−98)
(1/2)^(−99)
Os lados são 1, 1/2, 1/4…: o n-ésimo é (1/2) elevado a n − 1. O centésimo é (1/2)^99.
Por que a B é a certa
Cada quadrado tem lado igual à metade do anterior: 1, 1/2, 1/4, 1/8… É uma progressão geométrica de razão 1/2 que começa em 1. O primeiro termo é (1/2)^0, o segundo (1/2)^1, o terceiro (1/2)^2: o expoente é sempre uma unidade menor que a posição. O centésimo é (1/2)^99.
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Precisava saber