Matemática · lei dos cossenos · área do círculo · classificação de triângulos
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
O que a prova mostra
Figura 1 — um triângulo retângulo cinza: a hipotenusa a vai do vértice superior ao vértice da direita; o cateto c é o lado esquerdo, vertical; o cateto b é o lado de baixo, horizontal. O ângulo reto está marcado no vértice inferior esquerdo. Sobre cada lado, tomado como diâmetro, há um círculo desenhado: o círculo C1 sobre a hipotenusa a (rotulado em cima, à direita), o círculo C2 sobre o cateto b (rotulado embaixo) e o círculo C3 sobre o cateto c (rotulado à esquerda). Os três círculos se cruzam.
Figura 2 — três semicírculos cinza encostados uns nos outros, deixando no meio um triângulo branco cujos lados são os três diâmetros. O semicírculo de cima é rotulado "Meia pizza do professor de matemática"; o da esquerda, "Meia pizza do amigo 1"; o de baixo, "Meia pizza do amigo 2". O ângulo α está marcado dentro do triângulo branco, no vértice em que se encontram os diâmetros das meias pizzas dos dois amigos — ou seja, no vértice oposto ao diâmetro da pizza do professor. A figura não traz medidas numéricas.
0° < α < 90°
α = 90°
90° < α < 180°
α = 180°
180° < α < 360°
Reconhecer que área maior que a soma das outras duas exige ângulo obtuso oposto ao diâmetro do professor.
Por que a C é a certa
A área de um círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro. Então a pizza do professor é maior que as duas juntas quando o quadrado do seu diâmetro passa a soma dos quadrados dos outros dois. Pela lei dos cossenos, isso acontece quando o ângulo oposto a esse lado é obtuso. E, como é ângulo de um triângulo, ele fica entre 90° e 180°.
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