Matemática · área do setor circular · otimização
Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro. Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: • tipo I: α = 15° e R = 20 m; • tipo II: α = 30° e R = 22 m; • tipo III: α = 40° e R = 12 m; • tipo IV: α = 60° e R = 16 m; • tipo V: α = 90° e R = 10 m. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para π. O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
O que a prova mostra
A figura mostra, vista de cima, a área de cobertura do sensor: um setor circular azul com o vértice no ponto S, no alto. O ângulo do setor, no vértice, é α. O raio R vai de S até a borda, e um semicírculo de linha fina, centrado em S, contorna o desenho. A figura não traz valores: os ângulos e raios de cada tipo de sensor estão na lista do enunciado.
I
II
III
IV
V
Área do setor: (α/360) · 3 · R². Cobrem 70 m² os tipos II (121), IV (128) e V (75). O mais barato é o de menor área: o V.
Por que a E é a certa
A área do setor é a fração α/360 da área do círculo de raio R, com π = 3: (α/360) · 3 · R². Calculando: I dá 50 m²; II, 121; III, 48; IV, 128; V, 75. Só II, IV e V cobrem pelo menos 70 m². Como o preço cresce com a área, o mais barato entre esses é o de menor área: o tipo V, com 75 m².
Esta página não sabe qual alternativa você marcou — o aplicativo sabe, e começa por ela. Nele esta questão ainda traz:
Todas as questões continuam de graça, com gabarito, aqui e no aplicativo. A explicação completa é de quem assina — e as 15 primeiras são por nossa conta.
Precisava saber