Matemática · otimização · inequação · comparação de custos
Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm. Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas. Preço por Loja Raio (cm) unidade (R$) I 5 60 II 10 70 III 12 75 IV 15 90 V 20 120 A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível. A compra será realizada na loja
O que a prova mostra
Duas figuras.
O desenho da sala vista de cima: um retângulo verde-claro, com a cota 6 m na horizontal, em cima, e a cota 3 m na vertical, à direita. Dentro dele, mais ou menos no meio da largura, uma fila vertical de círculos azuis pequenos, alinhados de cima a baixo: três círculos no alto, reticências (⋯) no meio e três círculos embaixo. As reticências indicam que nem todas as colunas estão desenhadas. A fila é paralela aos lados de 3 m. Nos cantos de baixo, dois arcos tracejados representam portas.
O quadro dos orçamentos:
| Loja | Raio (cm) | Preço por unidade (R$) |
|---|---|---|
| I | 5 | 60 |
| II | 10 | 70 |
| III | 12 | 75 |
| IV | 15 | 90 |
| V | 20 | 120 |
I
II
III
IV
V
A fila cobre 300 cm com vãos de até 15 cm. Contando o mínimo de colunas por loja, a III precisa de 8, a R$ 75: R$ 600, o menor total.
Por que a C é a certa
A fila atravessa a sala pelo lado de 3 m = 300 cm. Com n colunas de diâmetro d há n + 1 vãos, entre colunas e nas pontas, cada um de no máximo 15 cm: n·d + 15(n + 1) ≥ 300, ou n ≥ 285 ÷ (d + 15). O diâmetro é o dobro do raio do quadro. Loja I (d = 10): 12 colunas, R$ 720. II (20): 9, R$ 630. III (24): 8, R$ 600. IV (30): 7, R$ 630. V (40): 6, R$ 720. O menor total é o da loja III.
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Precisava saber