Matemática · lei dos cossenos · rumos e ângulos · vetores e translação
O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma: 1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q; 2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R. No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos: 1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S; 2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T. A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada. O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea. Considere 0,64 como aproximação para cos 50°. A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
O que a prova mostra
Duas figuras, uma em cima da outra.
Em cima, a bússola: um disco cinza com a rosa dos ventos. No centro, uma agulha vermelha apontando para cima, e as letras N (em cima), S (embaixo), L (à direita) e O (à esquerda). Em volta, a graduação em números de 20 em 20, começando em 0 no topo e crescendo no sentido horário: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180 (embaixo), 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340. Há ainda 90 escrito à direita, junto do L, e 270 à esquerda, junto do O.
Embaixo, as rotas, num desenho sem eixo, sem escala e sem medida:
horizontal para a direita, terminando em T**;
esquerda até S**;
Q uma seta laranja horizontal para a direita até R;
R. Essa é a única linha tracejada do desenho, e não tem ponta de seta.
Os cinco pontos são marcados com bolinha preta cheia e a letra em itálico. As direções e os tempos de navegação estão só no texto.
135 e 7 horas e 15 minutos
45 e 7 horas e 15 minutos
135 e 12 horas
135 e 6 horas
45 e 6 horas
ST e QR são iguais, então TR é igual a SQ. Em PSQ, PS = PQ = 4 h com 130° entre eles: SQ ≈ 7,24 h ≈ 7 h 15 min, na direção 135.
Por que a A é a certa
Os segundos trechos, ST e QR, têm a mesma direção e o mesmo tempo; por isso TR tem o mesmo comprimento e a mesma direção de SQ. No triângulo PSQ, PS = PQ = 4 h e o ângulo em P vai de 340 a 110, 130°. Pela lei dos cossenos, SQ² = 16 + 16 + 32 · 0,64 = 52,48, SQ ≈ 7,24 h ≈ 7 h 15 min. O triângulo é isósceles, com 25° em S; de S, P fica na direção 160, e Q em 160 − 25 = 135.
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Precisava saber