Matemática · área do círculo · semicírculo · comparação de áreas
Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura. Projeto 1: Túnel para automóveis (12 m) · Túnel para bicicletas (6 m) Projeto 2: Túnel de uso misto (3 m + 6 m + 6 m + 3 m) O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas. O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha. Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas. O projeto a ser aprovado é
O que a prova mostra
Dois esquemas, um sobre o outro, cada um com o título em negrito acima: "Projeto 1" e "Projeto 2". Em ambos, a montanha é um retângulo marrom e os túneis são recortes brancos em forma de meio-círculo, apoiados na base do retângulo.
maior, rotulado "Túnel para automóveis"; o da direita, menor, rotulado "Túnel para bicicletas". Dentro de cada um, na base, as palavras volta e ida separadas por um traço vertical, com linhas tracejadas. Cotas de seta dupla embaixo: 12 m sob o túnel dos automóveis e 6 m sob o das bicicletas.
rotulado "Túnel de uso misto". Na base, quatro faixas separadas por traços verticais, rotuladas, da esquerda para a direita: volta, volta, ida, ida. Embaixo, quatro cotas de seta dupla, uma por faixa: 3 m, 6 m, 6 m e 3 m.
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m²
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m²
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m²
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m²
qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais
Projeto 1: meios-círculos de raio 6 e 3, (3 · 36 + 3 · 9) ÷ 2 = 67,5 m². Projeto 2: raio 9, 3 · 81 ÷ 2 = 121,5 m². Vence o 1.
Por que a A é a certa
A seção de cada túnel é um meio-círculo, de área π r² ÷ 2. No Projeto 1, os diâmetros são 12 m e 6 m, raios 6 e 3: (3 × 36 + 3 × 9) ÷ 2 = (108 + 27) ÷ 2 = 67,5 m². No Projeto 2, as faixas somam 3 + 6 + 6 + 3 = 18 m de diâmetro, raio 9: 3 × 81 ÷ 2 = 121,5 m². O Projeto 1 tem a menor seção.
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