Matemática · projeção ortogonal · visualização espacial
Em um jogo desenvolvido para uso no computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano da base. O usuário pode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicioná-lo convenientemente no plano horizontal. Um desses objetos é formado pela justaposição de quatro cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura. Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadriculados perpendiculares entre si, durante sua descida. A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é
O que a prova mostra
O sólido no enunciado e um esquema por alternativa.
O sólido, no enunciado: quatro cubos iguais, e ele não é plano: tem profundidade. Tomando um cubo como origem e contando em passos de um cubo (x = direita, y = para trás, z = para cima), as quatro posições são:
(0,0,0) · (1,0,0) · (0,0,1) · (0,1,1)
Ou seja: dois cubos lado a lado na base, um terceiro em cima do da esquerda, e o quarto em cima e atrás desse terceiro. No desenho em perspectiva isso aparece assim: embaixo, o cubo da direita vem para a frente; em cima, o segundo cubo fica recuado, e a face que se vê no meio da fileira de cima é face lateral, não frontal.
Cada alternativa mostra o mesmo cenário: um canto formado por três planos quadriculados perpendiculares — parede esquerda, parede direita e chão —, com o sólido flutuando no meio. Em cada plano há exatamente três células sombreadas (a projeção). O sólido desenhado é o mesmo nas cinco; o que muda são as manchas.
Parede esquerda — três formas diferentes aparecem:
cima, lado a lado, mais uma abaixo da da esquerda. A mesma forma nas quatro — o que muda é só a coluna: em A e B ela está uma coluna mais à esquerda do que em D e E**.
uma abaixo da da direita — o espelho da ❶.
Parede direita — duas posições:
A forma é a mesma nas cinco: duas empilhadas numa coluna + uma à direita, na linha de cima.
Chão — duas formas:
atrás da outra, mais uma à esquerda, no meio;
Em resumo:
| parede esquerda | parede direita | chão | |
|---|---|---|---|
| A | forma ❶, coluna da esquerda | mais alta | ⬤ |
| B | forma ❶, coluna da esquerda | normal | ⬤ |
| C | forma ❷ (espelhada) | normal | ⬤ |
| D | forma ❶, coluna da direita | normal | ⬥ |
| E | forma ❶, coluna da direita | normal | ⬤ |
(esquema)
(esquema)
(esquema)
(esquema)
(esquema)
Cada parede mostra o sólido visto de frente para ela. As três manchas têm de bater com a forma e com a posição do sólido: só fecha o esquema com a mancha da parede esquerda mais perto do canto e a terceira célula do chão à esquerda.
Por que a E é a certa
Projetar ortogonalmente é olhar o sólido perpendicularmente a cada plano e marcar a sombra. Embaixo há um cubo e outro ao lado; em cima, um cubo sobre o primeiro e outro atrás dele. Cada projeção dá três células em L. Um esquema erra a forma na parede esquerda, com a terceira célula espelhada; outro erra o chão, com a terceira célula à direita. Um terceiro põe a parede direita uma linha acima da esquerda, o que é impossível. Entre os dois que sobram, a parede esquerda tem de cair nas mesmas faixas que o chão: só cai naquele em que a mancha da parede esquerda está uma coluna mais à direita, mais perto do canto.
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Precisava saber