Matemática · teorema de Pitágoras · cone
No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2. Poste h = 3 m c Figura 1 Figura 2 A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva. Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
O que a prova mostra
Duas figuras, lado a lado, rotuladas Figura 1 e Figura 2.
Figura 1 — uma fotografia noturna: uma árvore de Natal montada com mangueiras de luz esticadas do alto de um poste até o chão, formando um cone luminoso, com uma estrela no topo. É ilustração: não tem medida nenhuma.
Figura 2 — o esquema geométrico da mesma montagem, em traço:
Poste no alto;baixo — as mangueiras;
as retas terminam sobre ela, espaçadas;
C;
até a altura da elipse, rotulada h = 3 m.
4,00
4,87
5,00
5,83
6,26
100 m em 20 mangueiras dão 5 m cada. Cada mangueira é a hipotenusa de um triângulo com altura 3: raio = √(25 − 9) = 4 m.
Por que a A é a certa
A circunferência é dividida em 20 arcos, então são 20 mangueiras, que somam 100 m: cada uma mede 5 m. Cada mangueira vai do ponto a 3 m de altura no poste até a circunferência no chão, formando um triângulo retângulo com o poste e o raio. Pelo teorema de Pitágoras: 5² = 3² + r², r² = 16, r = 4 m.
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Precisava saber