Matemática · poliedros · relação de Euler · planificação
A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma. As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações. Quantos vértices tem esse poliedro?
O que a prova mostra
Desenhos coloridos, sem número, letra ou medida em nenhum deles. As cores distinguem os tipos de face: azul para os triângulos, amarelo para os quadrados, verde para o pentágono e vermelho para o decágono.
vê-se o topo, com o pentágono verde e os quadrados amarelos em volta; na outra, o sólido aparece deitado, mostrando a face vermelha grande de lado. As arestas são traçadas em branco fino sobre as cores.
uma coroa de triângulos azuis, e, na borda de fora, os quadrados amarelos e o pentágono verde (este ligado a um dos quadrados, à direita).
Contando as faces da planificação:
25 triângulos (azuis) 5 quadrados (amarelos) 1 pentágono (verde) 1 decágono (vermelho)
Todos os triângulos têm o mesmo tamanho.
21
25
55
80
110
A planificação tem 32 faces: 25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono. São 55 arestas, e por Euler V = 55 − 32 + 2 = 25.
Por que a B é a certa
Pela planificação, o poliedro tem 25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono: 32 faces. Somando os lados de todas, 75 + 20 + 5 + 10 = 110; cada aresta é lado de duas faces, então são 110 ÷ 2 = 55 arestas. Pela relação de Euler, V − A + F = 2, logo V = 55 − 32 + 2 = 25 vértices.
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Precisava saber