Matemática · função tangente · período e translação de funções · leitura de gráfico
Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo D = k + tg[p(T + m)], sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D. A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
O que a prova mostra
Duas partes, lado a lado.
À esquerda, o recipiente, visto de lado: um corpo largo em cima, que se afunila até um pé estreito, apoiado numa faixa marrom com o texto Tampo da mesa. Dele saem para a direita três linhas tracejadas azul-claras:
T = 4;T = 0;T, que é a altura D = 0.À direita, o gráfico: eixo vertical D, eixo horizontal T. No eixo T estão marcados 0, 2,5 e 4; no eixo D, só o 30. Duas assíntotas verticais pontilhadas verdes, cada uma com uma seta e o rótulo embaixo: a da esquerda em T = (5 − 2π)/2, à esquerda do zero, e a da direita em T = (5 + 2π)/2, à direita do 4.
A curva é vermelho-escura, crescente, com a forma de uma tangente: sobe devagar no meio e dispara perto das assíntotas. Ela é cheia entre T = 0 e T = 4 e tracejada fora desse intervalo. Há círculos vazados nas duas pontas do trecho cheio e um ponto cheio em (2,5 ; 30), com tracejadas cinza ligando-o aos dois eixos.
Os únicos números do gráfico são esses; o valor de D em T = 0 e em T = 4 não está escrito.
D = 2,5 + tg[ 30·( T − (5 − 2π)/2 ) ]
D = 4 + tg[ 30·( T + 5/2 ) ]
D = 4 + tg[ 2,5·( T + (5 + 2π)/2 ) ]
D = 30 + tg[ (1/2)·( T − 5 ) ]
D = 30 + tg[ (1/2)·( T − 5/2 ) ]
As assíntotas distam 2π, então p = 1/2. O centro entre elas é T = 5/2, onde a tangente vale 0, e o ponto (2,5; 30) dá k = 30.
Por que a E é a certa
Em tg[p(T + m)], duas assíntotas vizinhas ficam a π/p uma da outra. Aqui a distância é (5 + 2π)/2 − (5 − 2π)/2 = 2π, então π/p = 2π e p = 1/2. No meio das assíntotas, em T = 5/2, a tangente vale 0: p(5/2 + m) = 0 dá m = −5/2. Nesse ponto o gráfico marca D = 30, e como tg 0 = 0, k = 30. Fica D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)].
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